MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMonotonie și convexitate
Determinați punctele critice și testați-le pentru maximum și minimum pentru funcția f(x)=x⋅e−3xf(x) = x \cdot e^{-3x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata: f′(x)=e−3x+x(−3)e−3x=e−3x(1−3x)f'(x)=e^{-3x}+x(-3)e^{-3x}=e^{-3x}(1-3x).
22 puncte
Găsiți punctele critice: f′(x)=0⇒e−3x(1−3x)=0⇒x=13f'(x)=0\Rightarrow e^{-3x}(1-3x)=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{3}.
33 puncte
Calculați a doua derivată pentru test: f′′(x)=ddx(e−3x(1−3x))=3e−3x(3x−2)f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}(1-3x)\big)=3e^{-3x}(3x-2). Evaluați la x=13x=\tfrac{1}{3}: f′′(1/3)=3e−1(3⋅13−2)=3e−1(−1)<0f''(1/3)=3e^{-1}(3\cdot\tfrac{1}{3}-2)=3e^{-1}(-1)<0, deci punct de maximum local.
42 puncte
Concluzie și valoare: ff are un singur punct critic x=13x=\tfrac{1}{3}, care este un maxim local, cu valoarea f(1/3)=13e−1f(1/3)=\tfrac{1}{3}e^{-1}. Nu există minim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.