MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea C6n<C4nC_{6}^{n} < C_{4}^{n}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Impuneți domeniul: pentru C6nC_{6}^{n} și C4nC_{4}^{n} definită în sens clasic este necesar n≥6n \ge 6.\n
24 puncte
Scrieți raportul: C6nC4n=n!6!(n−6)!n!4!(n−4)!=4!(n−4)!6!(n−6)!=130(n−4)(n−5)\dfrac{C_{6}^{n}}{C_{4}^{n}} = \dfrac{\dfrac{n!}{6!(n-6)!}}{\dfrac{n!}{4!(n-4)!}} = \dfrac{4!(n-4)!}{6!(n-6)!} = \dfrac{1}{30}(n-4)(n-5). Inegalitatea C6n<C4nC_{6}^{n} < C_{4}^{n} este echivalentă cu 130(n−4)(n−5)<1\dfrac{1}{30}(n-4)(n-5) < 1, adică (n−4)(n−5)<30(n-4)(n-5) < 30.\n
33 puncte
Rezolvați inegalitatea de gradul al doilea: (n−4)(n−5)−30<0  ⟺  (n−10)(n+1)<0(n-4)(n-5) - 30 < 0 \iff (n-10)(n+1) < 0, deci −1<n<10-1 < n < 10. Intersectând cu domeniul n≥6n \ge 6 și n∈Nn \in \mathbb{N} obțineți n∈{6,7,8,9}.n \in \{6,7,8,9\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.