MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În dezvoltarea expresiei (2a2−3a)n\left(2a^2 - \dfrac{3}{a}\right)^n, coeficientul termenului al doilea este −3n2n−1-3n2^{n-1}, iar diferența dintre coeficientul celui de-al treilea termen și cel de-al doilea termen este 2016. Determinați nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general este Tk+1=Cnk(2a2)n−k(−3/a)k=Cnk2n−k(−3)ka2(n−k)−kT_{k+1} = C_n^k (2a^2)^{n-k}(-3/a)^k = C_n^k 2^{n-k}(-3)^k a^{2(n-k)-k}.\n
23 puncte
Pentru k=1k=1, coeficientul este −3n2n−1-3n2^{n-1}. Pentru k=2k=2, coeficientul este Cn22n−29=9Cn22n−2C_n^2 2^{n-2} 9 = 9C_n^2 2^{n-2}.\n
34 puncte
Condiția dată: 9Cn22n−2−(−3n2n−1)=20169C_n^2 2^{n-2} - (-3n2^{n-1}) = 2016. Simplificând: 3n(3n+1)2n−3=20163n(3n+1)2^{n-3} = 2016. Testând valori întregi, soluția este n=5n = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.