MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției f(x)=(2x−1)(2x−2)2f(x) = (2^x - 1)(2^x - 2)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosiți substituția t=2x>0t=2^x>0 și calculați derivata folosind regula lanțului: f′(x)=ln⁡2⋅2x⋅g′(t)f'(x)=\ln 2\cdot 2^x\cdot g'(t), unde g(t)=(t−1)(t−2)2g(t)=(t-1)(t-2)^2. Calculați g′(t)=(t−2)(3t−4)g'(t)=(t-2)(3t-4), deci f′(x)=ln⁡2⋅2x(2x−2)(3⋅2x−4)f'(x)=\ln 2\cdot 2^x(2^x-2)(3\cdot2^x-4).
22 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0: 2x=2⇒x=12^x=2\Rightarrow x=1 și 2x=4/3⇒x=log⁡2(4/3)2^x=4/3\Rightarrow x=\log_2(4/3).
33 puncte
Determinați semnul lui f′(x)f'(x) folosind t=2xt=2^x: pentru t<4/3t<4/3 avem (t−2)<0(t-2)<0 și (3t−4)<0(3t-4)<0 ⇒ f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare pe (−∞,log⁡2(4/3))(-\infty,\log_2(4/3))); pentru 4/3<t<24/3<t<2 avem (t−2)<0,(3t−4)>0(t-2)<0,(3t-4)>0 ⇒ f′(x)<0f'(x)<0 (descrescătoare pe (log⁡2(4/3),1)(\log_2(4/3),1)); pentru t>2t>2 avem ambele factori pozitive ⇒ f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare pe (1,+∞)(1,+\infty)).
42 puncte
Calculați valorile și clasificați extremele: la x=log⁡2(4/3)x=\log_2(4/3) avem t=4/3t=4/3 și f=(4/3−1)(4/3−2)2=4/27f= (4/3-1)(4/3-2)^2=4/27 ⇒ maxim local; la x=1x=1 avem t=2t=2 și f=0f=0 ⇒ minim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.