MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMonotonie și convexitate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției f(x)=(x−1)e3xf(x) = (x - 1)e^{3x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata: f′(x)=e3x+3(x−1)e3x=e3x(3x−2)f'(x)=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2).
22 puncte
Determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0⇒e3x(3x−2)=0⇒x=23f'(x)=0\Rightarrow e^{3x}(3x-2)=0\Rightarrow x=\tfrac{2}{3}.
32 puncte
Calculați a doua derivată pentru test: f′′(x)=ddx(e3x(3x−2))=e3x(9x−3)=3e3x(3x−1)f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{3x}(3x-2)\big)=e^{3x}(9x-3)=3e^{3x}(3x-1). Evaluați la x=23x=\tfrac{2}{3}: f′′(2/3)=3e2(3⋅23−1)=3e2>0⇒f''(2/3)=3e^{2}(3\cdot\tfrac{2}{3}-1)=3e^{2}>0\Rightarrow minim local.
42 puncte
Determinați monotonia folosind semnul lui f′(x)f'(x): e3x>0e^{3x}>0 pentru orice xx, deci semnul urmează pe (3x−2)(3x-2); pentru x<23x<\tfrac{2}{3}, f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare), pentru x>23x>\tfrac{2}{3}, f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare).
52 puncte
Concluzie și valoare extremului: ff are un minim local în x=23x=\tfrac{2}{3} cu valoarea f(2/3)=(23−1)e2=−13e2f(2/3)=\big(\tfrac{2}{3}-1\big)e^{2}=-\tfrac{1}{3}e^{2}. Nu există punct de maximum local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.