MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Găsiți punctele în care tangenta la curba y=x−0.5sin⁡2x−0.5cos⁡2x+16cos⁡xy = x - 0.5\sin2x - 0.5\cos2x + 16\cos x este paralelă cu axa absciselor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata: y′=1−0.5⋅2cos⁡2x−0.5⋅(−2sin⁡2x)−16sin⁡x=1−cos⁡2x+sin⁡2x−16sin⁡xy' = 1 - 0.5\cdot2\cos2x - 0.5\cdot(-2\sin2x) -16\sin x = 1 -\cos2x +\sin2x -16\sin x.
23 puncte
Folosiți identitățile: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x, sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x pentru a obține y′=2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x−16sin⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x−8)y'=2\sin^2x+2\sin x\cos x-16\sin x=2\sin x(\sin x+\cos x-8).
33 puncte
Rezolvați y′=0y'=0: din expresie rezultă sin⁡x=0\sin x=0 sau sin⁡x+cos⁡x=8\sin x+\cos x=8 (imposibil). Deci x=kπx=k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Determinați punctele: pentru x=kπx=k\pi, sin⁡2x=0\sin2x=0, cos⁡2x=1\cos2x=1, cos⁡x=(−1)k\cos x=(-1)^k, deci y=kπ−0.5+16(−1)ky=k\pi-0.5+16(-1)^k. Răspuns: punctele sunt (kπ,  kπ−0.5+16(−1)k)\bigl(k\pi,\;k\pi-0.5+16(-1)^k\bigr), k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.