MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivate
Găsiți punctele critice ale funcției y=x⋅e−x2y = x\cdot e^{-x^{2}} și testați-le pentru maxime și minime.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata y′=e−x2(1−2x2)y'=e^{-x^{2}}(1-2x^{2}) aplicând regula produsului și regula lanțului.
23 puncte
Determinați punctele critice rezolvând y′=0y'=0. Observați e−x2≠0e^{-x^{2}}\neq 0, deci 1−2x2=0⇒x=±121-2x^{2}=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}; calculați valorile y(±12)=±12e−1/2y\big(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\big)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2}.
34 puncte
Calculați y′′=e−x2(4x3−6x)y''=e^{-x^{2}}(4x^{3}-6x) și evaluați pentru x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}} și x=−12x=-\frac{1}{\sqrt{2}} pentru a stabili că x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}} dă y′′<0y''<0 (maxim local) iar x=−12x=-\frac{1}{\sqrt{2}} dă y′′>0y''>0 (minim local).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.