MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMonotonie și convexitate
Găsiți valoarea cea mai mare a funcției y=10+4xln⁡9−3x−1−33−xy = 10 + 4x \ln 9 - 3^{x-1} - 3^{3-x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata: y′=4ln⁡9−3x−1ln⁡3+33−xln⁡3y' = 4\ln 9 - 3^{x-1}\ln 3 + 3^{3-x}\ln 3. Notăm t=3x−1>0t=3^{x-1}>0, atunci 33−x=9/t3^{3-x}=9/t și ecuația y′=0y'=0 devine 4ln⁡9+ln⁡3(9−t2t)=04\ln 9 + \ln 3\left(\dfrac{9-t^2}{t}\right)=0, echivalentă cu ln⁡3 (−t2+8t+9)=0\ln 3\,(-t^2+8t+9)=0.
24 puncte
Rezolvăm −t2+8t+9=0⇒t2−8t−9=0-t^2+8t+9=0\Rightarrow t^2-8t-9=0, de unde t=9t=9 (se respinge soluția negativă). Din 3x−1=9=323^{x-1}=9=3^2 rezultă x=3x=3.
32 puncte
Verificăm că este maximum: y′′=−(ln⁡3)2(3x−1+33−x)<0y''=-(\ln 3)^2(3^{x-1}+3^{3-x})<0, deci punctul critic este maxim. Valoarea maximă este y(3)=10+12ln⁡9−9−1=12ln⁡9=24ln⁡3y(3)=10+12\ln 9-9-1=12\ln 9=24\ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.