MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorArii și volume
Rezolvați: Un cilindru de volum maxim este înscris într-un con. Găsiți raportul dintre raza bazei conului și raza bazei cilindrului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm raza bazei conului cu RR și înălțimea conului cu HH. Fie cilindrul înscris de înălțime hh și rază rr. Relația geometrică datorită asemănării triunghiurilor: r=R(1−hH)r=R\left(1-\dfrac{h}{H}\right).
24 puncte
Scriem volumul V(h)=πr2h=πR2(1−hH)2hV(h)=\pi r^2 h=\pi R^2\left(1-\dfrac{h}{H}\right)^2 h. Derivăm V′(h)V'(h) și găsim punctele critice: V′(h)=πR2(1−hH)(1−3hH)=0V'(h)=\pi R^2\left(1-\dfrac{h}{H}\right)\left(1-3\dfrac{h}{H}\right)=0, rezultând h=H3h=\dfrac{H}{3} (exclus soluția degenerată h=Hh=H).
33 puncte
Calculăm raza corespunzătoare r=R(1−13)=2R3r=R\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2R}{3} și concluzionăm raportul dintre raza bazei conului și raza bazei cilindrului Rr=R2R/3=32\dfrac{R}{r}=\dfrac{R}{2R/3}=\dfrac{3}{2}. Verificăm că este maxim (de exemplu, V′′(H/3)<0V''(H/3)<0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.