MediuCombinatoricăClasa 11

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Arătați că în dezvoltarea binomială a expresiei (1+x)n\left(1 + x\right)^{n}, suma coeficienților termenilor cu exponenți pari este egală cu suma coeficienților termenilor cu exponenți impari și determinați această valoare în funcție de nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați dezvoltarea: (1+x)n=∑k=0nCnkxk\left(1+x\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{k}. Suma tuturor coeficienților este obținută pentru x=1x=1: Stotal=(1+1)n=2nS_{\text{total}} = (1+1)^n = 2^n.\n
24 puncte
Notați SparS_{\text{par}} suma coeficienților termenilor cu exponent par și SimparS_{\text{impar}} suma coeficienților termenilor cu exponent impar. Observați că pentru x=−1x = -1 avem: (1+(−1))n=0n=0\left(1+(-1)\right)^n = 0^n = 0, dar și ∑k=0nCnk(−1)k=Spar−Simpar\sum_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k = S_{\text{par}} - S_{\text{impar}}. Deci Spar−Simpar=0S_{\text{par}} - S_{\text{impar}} = 0.\n
33 puncte
Avem sistemul: Spar+Simpar=2nS_{\text{par}} + S_{\text{impar}} = 2^n și Spar−Simpar=0S_{\text{par}} - S_{\text{impar}} = 0. Rezultă Spar=Simpar=2n−1S_{\text{par}} = S_{\text{impar}} = 2^{n-1}. Deci suma coeficienților cu exponent par este 2n−12^{n-1} și este egală cu suma coeficienților cu exponent impar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.