MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În dezvoltarea expresiei (x3+12x)n\left( x^3 + \dfrac{1}{2x} \right)^n, coeficientul termenului cu exponentul lui xx egal cu 4 este 3780. Determinați nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general: Tk+1=Cnkx3(n−k)(1/(2x))k=Cnk2−kx3n−4kT_{k+1} = C_n^k x^{3(n-k)}(1/(2x))^k = C_n^k 2^{-k} x^{3n - 4k}.\n
24 puncte
Condiția exponentului: 3n−4k=4⇒k=3n−443n - 4k = 4 \Rightarrow k = \dfrac{3n - 4}{4}.\n
33 puncte
Coeficientul este Cnk2−k=3780C_n^k 2^{-k} = 3780. Testând valori posibile pentru care (3n−4)(3n - 4) este multiplu de 4, se obține că soluția compatibilă este n=8n = 8, k=5k = 5, pentru care coeficientul este C852−5=56/32=1.75C_8^5 2^{-5} = 56 / 32 = 1.75, deci ajustarea arată că nu există soluție naturală exactă pentru 3780.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.