MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un automobil și un ciclist se deplasează spre punctul A pe două drumuri drepte cu viteze constante. La momentul inițial pozițiile automobilului, ale ciclistului și punctul A formează un triunghi dreptunghic. După ce automobilul a parcurs 25 25\,km, triunghiul format de pozițiile curente ale automobilului, ciclistului și punctul A a devenit echilateral. Se mai știe că atunci când automobilul a ajuns în A, ciclistului îi mai rămăseseră 12 12\,km de parcurs. Determinați distanța dintre automobil și ciclist la momentul inițial. (Observație: dacă datele sunt inconsistente sau insuficiente, explicați.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați distanțele inițiale la A: d1d_1 pentru automobil și d2d_2 pentru ciclist, vitezele uu și vv. La momentul când automobilul a parcurs 2525 avem t1=25/ut_1=25/u, distanțele rămase r1=d1−25r_1=d_1-25 și r2=d2−vt1r_2=d_2-vt_1. Condiția triunghiului echilateral impune r1=r2r_1=r_2 și, prin legea cosinus, unghiul dintre drumuri trebuie să satisfacă 2(1−cos⁡θ)=1⇒cos⁡θ=1/22(1-\cos\theta)=1\Rightarrow \cos\theta=1/2 (deci unghiul dintre drumuri este 60∘60^\circ).
23 puncte
Din r1=r2r_1=r_2 obțineți d2=d1+25( v/u−1 )d_2=d_1+25(\,v/u-1\,). Din informația că la timpul când automobilul ajunge în A (timp T=d1/uT=d_1/u) ciclistului îi mai rămân 1212 km obțineți d2−d1(v/u)=12d_2-d_1(v/u)=12, adică v/u=(d2−12)/d1v/u=(d_2-12)/d_1.
34 puncte
Combinați cele două relații pentru a obține d1d_1 și d2d_2 în funcție de raportul v/uv/u. Observație finală: sistemul de ecuații rezultate este subdeterminat (există un parametru liber pentru raportul vitezelor), deci cu datele date nu se obține o singură valoare numerică pentru distanța inițială dintre automobil și ciclist; se poate exprima distanța inițială în funcție de raportul α=v/u\alpha=v/u și anume d1=(25α−37)/(α−1)d_1=(25\alpha-37)/(\alpha-1) și d2=αd1+12d_2=\alpha d_1+12, iar distanța inițială dintre ei este d12+d22−d1d2\sqrt{d_1^2+d_2^2-d_1d_2} (folosind cos⁡60=1/2\cos60=1/2). Concluzie: datele astfel cum sunt enunțate permit o descriere parametrică a soluțiilor, dar nu determină unică valoare numerică; este necesară o informație suplimentară (de ex. valoarea unei viteze sau raportul vitezelor) pentru a determina numeric distanța inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.