MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Punctele A și B sunt la 120 km distanță. Un motociclist pleacă din A spre B de-a lungul drumului AB, drept, cu viteza de 30 km/h. În același timp, un biciclist pleacă din B pe un drum perpendicular pe AB, cu viteza de 10 km/h. Determinați când va fi minimă distanța dintre cei doi (exprimați timpul în ore și minute).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Alegeți sistem de coordonate cu A în x=0x=0, B în x=120x=120. Scrieți pozițiile în funcție de timp tt: motociclist M(30t,0)M(30t,0), biciclist C(120,10t)C(120,10t) și exprimați D2(t)=(120−30t)2+(10t)2D^2(t)=(120-30t)^2+(10t)^2.
24 puncte
Derivați D2(t)=14400−7200t+1000t2D^2(t)=14400-7200t+1000t^2, găsiți derivata D2′(t)=−7200+2000tD^{2\prime}(t)=-7200+2000t și rezolvați D2′(t)=0D^{2\prime}(t)=0 pentru tt, obţinând t=72002000=3,6t=\dfrac{7200}{2000}=3{,}6 h.
33 puncte
Verificați condițiile (motociclistul nu a ajuns încă la B la acest moment) și convertiți timpul: 3,63{,}6 h = 33 h 3636 min; concluzionați că distanța este minimă la t=3,6t=3{,}6 h.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.