MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui k toate soluțiile sistemului de ecuații {x+ky=3kx+4y=6\begin{cases}x + k y = 3 \\ k x + 4 y = 6\end{cases} satisfac condițiile x>1x>1, y>0y>0?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinantul este 4−k24-k^{2}. Dacă k≠±2k\neq\pm2 sistemul are soluţie unică. Folosim Cramer: x=12−6k4−k2,  y=6−3k4−k2x=\dfrac{12-6k}{4-k^{2}},\;y=\dfrac{6-3k}{4-k^{2}}. Observăm factorul comun (2−k)(2-k) şi, pentru k≠±2k\neq\pm2, se simplifică la x=62+k,  y=32+kx=\dfrac{6}{2+k},\;y=\dfrac{3}{2+k}.\
24 puncte
Condiţia y>0y>0 implică 2+k>02+k>0, deci k>−2k>-2. Condiţia x>1x>1 implică 62+k>1⇒k<4\dfrac{6}{2+k}>1\Rightarrow k<4. Împreună obţinem −2<k<4-2<k<4. Trebuie să excludem valorile unde determinantul este zero: k=2k=2 nu este permis.\
33 puncte
Pentru k=2k=2 sau k=−2k=-2 sistemul are infinit de soluţii şi nu toate satisfac simultan condiţiile impuse, deci nu sunt acceptate. Concluzie: toate soluţiile satisfac x>1,y>0x>1,y>0 iff k∈(−2,4)∖{2}k\in(-2,4)\setminus\{2\}, adică k∈(−2,2)∪(2,4)k\in(-2,2)\cup(2,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.