MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori reale ale lui a și b sunt toate extremele funcției f(x)=a2x3−0.5ax2−2x−bf(x) = a^2 x^3 - 0.5a x^2 - 2x - b pozitive și minimul se află în punctul x0=1/3x_0 = 1/3?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata f′(x)=3a2x2−ax−2f'(x)=3a^2x^2 - a x - 2. Condiția f′(1/3)=0f'(1/3)=0 dă 3a2(1/9)−a(1/3)−2=0⇒a2−a−6=03a^2(1/9)-a(1/3)-2=0\Rightarrow a^2 - a -6=0, deci a=3a=3 sau a=−2a=-2.
23 puncte
Verificăm natura extremului: f′′(x)=6a2x−af''(x)=6a^2 x - a, deci f′′(1/3)=2a2−a=a(2a−1)f''(1/3)=2a^2 - a = a(2a-1). Pentru a=3a=3 și a=−2a=-2 avem f′′(1/3)>0f''(1/3)>0, deci punctul este minim în ambele cazuri.
34 puncte
Impunem ca toate extremele să fie pozitive. Pentru a=3a=3 cele două puncte critice sunt x=1/3x=1/3 și x=−2/9x=-2/9. Evaluăm: f(1/3)=−1/2−b>0⇒b<−1/2f(1/3)=-1/2 - b>0\Rightarrow b<-1/2, iar f(−2/9)=22/81−b>0⇒b<22/81f(-2/9)=22/81 - b>0\Rightarrow b<22/81. Condiția comună este b<−1/2b<-1/2. Pentru a=−2a=-2 punctele critice sunt x=1/3x=1/3 și x=−1/2x=-1/2. Evaluări: f(1/3)=−11/27−b>0⇒b<−11/27f(1/3)=-11/27 - b>0\Rightarrow b<-11/27, iar f(−1/2)=3/4−b>0⇒b<3/4f(-1/2)=3/4 - b>0\Rightarrow b<3/4. Condiția comună este b<−11/27b<-11/27. Concluzie: fie a=3a=3 cu b<−1/2b<-1/2, fie a=−2a=-2 cu b<−11/27b<-11/27.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.