MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateTrigonometrie
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=(5+sin⁡x)cos⁡x+3xf(x) = (5+\sin x)\cos x + 3x pe intervalul [0,π/2][0, \pi/2].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata folosind regula produsului: f′(x)=(5+sin⁡x)(−sin⁡x)+cos⁡x⋅cos⁡x+3=−5sin⁡x−sin⁡2x+cos⁡2x+3f'(x)= (5+\sin x)(-\sin x)+\cos x\cdot\cos x +3 = -5\sin x -\sin^2 x +\cos^2 x +3, ceea ce se poate scrie ca f′(x)=4−2sin⁡2x−5sin⁡xf'(x)=4-2\sin^2 x -5\sin x.
23 puncte
Puneți t=sin⁡x∈[0,1]t=\sin x\in[0,1] și rezolvați ecuația 4−2t2−5t=04-2t^2-5t=0, adică 2t2+5t−4=02t^2+5t-4=0. Soluțiile sunt t=−5±574t=\dfrac{-5\pm\sqrt{57}}{4}; singura soluție din [0,1][0,1] este t=−5+574t=\dfrac{-5+\sqrt{57}}{4}. Deci punctul critic este x=arcsin⁡ ⁣(−5+574)x=\arcsin\!\left(\dfrac{-5+\sqrt{57}}{4}\right).
32 puncte
Evaluați funcția la capete: f(0)=(5+0)⋅1+0=5f(0)=(5+0)\cdot1+0=5, f(π/2)=(5+1)⋅0+3⋅π2=3π2≈4.7124f(\pi/2)=(5+1)\cdot0+3\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\approx4.7124.
42 puncte
Evaluați ff în punctul critic numeric: pentru t≈0.63725t\approx0.63725 avem x≈0.6901x\approx0.6901, cos⁡x≈0.7714\cos x\approx0.7714 și f(x)≈(5+0.63725)⋅0.7714+3⋅0.6901≈6.4163f(x)\approx(5+0.63725)\cdot0.7714+3\cdot0.6901\approx6.4163. Concluzie: valoarea maximă este aproximativ 6.41636.4163 la x=arcsin⁡ ⁣(−5+574)x=\arcsin\!\left(\dfrac{-5+\sqrt{57}}{4}\right), iar valoarea minimă este 3π2\dfrac{3\pi}{2} la x=π2x=\dfrac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.