MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrieDerivate
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=cos⁡3x−15cos⁡x+8f(x) = \cos 3x - 15 \cos x + 8 pe intervalul [π/3,3π/2][\pi/3, 3\pi/2].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata f′(x)=−3sin⁡3x+15sin⁡xf'(x)= -3\sin 3x + 15\sin x.
23 puncte
Determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0: −3sin⁡3x+15sin⁡x=0⇒sin⁡3x−5sin⁡x=0-3\sin3x +15\sin x=0\Rightarrow\sin3x -5\sin x=0. Folosind identitatea sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin3x=3\sin x-4\sin^3 x se obține −2sin⁡x(2sin⁡2x+1)=0-2\sin x(2\sin^2 x+1)=0, deci sin⁡x=0\sin x=0. În intervalul [π/3,3π/2][\pi/3,3\pi/2] rezultă x=πx=\pi.
32 puncte
Evaluați funcția la capete și la punctul critic: f(π/3)=cos⁡π−15cos⁡(π/3)+8=−1−15⋅12+8=−12f(\pi/3)=\cos\pi-15\cos(\pi/3)+8=-1-15\cdot\tfrac{1}{2}+8=-\tfrac{1}{2}, f(π)=cos⁡3π−15cos⁡π+8=−1−15(−1)+8=22f(\pi)=\cos3\pi-15\cos\pi+8=-1-15(-1)+8=22, f(3π/2)=cos⁡(9π/2)−15cos⁡(3π/2)+8=0−0+8=8f(3\pi/2)=\cos(9\pi/2)-15\cos(3\pi/2)+8=0-0+8=8.
42 puncte
Concluzie: valoarea minimă este −12-\tfrac{1}{2} la x=π/3x=\pi/3, iar valoarea maximă este 2222 la x=πx=\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.