MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O mașină circulă de la A la C. Viteza pe segmentul de la A la B (unde B se află între A și C) este 48 km/h. La punctul B șoferul reduce viteza cu a km/h (0 < a < 48) și parcurge cu această viteză o treime din drumul de la B la C. Partea rămasă a drumului de la B la C o parcurge cu o viteză cu 2a km/h mai mare decât viteza inițială (48 km/h). Determinați valoarea lui a pentru care timpul necesar parcurgerii drumului de la B la C este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm d=BCd=BC. Vitezele pe cele două părți sunt v1=48−av_1=48-a pentru primul d3\dfrac{d}{3} și v2=48+2av_2=48+2a pentru restul 2d3\dfrac{2d}{3}. (2 p)
23 puncte
Scrieți timpul total T(a)=d/348−a+2d/348+2a=d3(148−a+248+2a)T(a)=\dfrac{d/3}{48-a}+\dfrac{2d/3}{48+2a}=\dfrac{d}{3}\Big(\dfrac{1}{48-a}+\dfrac{2}{48+2a}\Big). (3 p)
33 puncte
Minimizați funcția (factorul pozitiv d/3d/3 nu afectează poziția extremului). Derivați f(a)=148−a+248+2af(a)=\dfrac{1}{48-a}+\dfrac{2}{48+2a}: f′(a)=1(48−a)2−4(48+2a)2f'(a)=\dfrac{1}{(48-a)^2}-\dfrac{4}{(48+2a)^2}; impuneți f′(a)=0f'(a)=0 și obțineți 148−a=248+2a⇒48+2a=2(48−a)⇒a=12\dfrac{1}{48-a}=\dfrac{2}{48+2a}\Rightarrow 48+2a=2(48-a)\Rightarrow a=12. (3 p)
42 puncte
Verificați că 0<a<480<a<48 și că soluția dă un minim (de exemplu prin semnul lui f′f' sau analiză locală). Răspuns: a=12 a=12\, km/h. (2 p)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.