MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateDomeniul de definiție al funcțiilor
Găsiți punctele critice ale funcției f(x) = x217−ln⁡(x2−8)\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) și testați-le pentru maxime și minime.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție: x2−8>0⇒∣x∣>8=22x^2-8>0\Rightarrow |x|>\sqrt{8}=2\sqrt{2}, deci domeniul este (−∞,−22)∪(22,∞)(-\infty,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2},\infty).
23 puncte
Calculați derivata: f′(x)=2x17−2xx2−8=2x(117−1x2−8)=2x(x2−25)17(x2−8)f'(x)=\frac{2x}{17}-\frac{2x}{x^2-8}=2x\Big(\frac{1}{17}-\frac{1}{x^2-8}\Big)=\frac{2x(x^2-25)}{17(x^2-8)}.
32 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 sau unde derivata nu există: f′(x)=0⇒2x(x2−25)=0⇒x=0,±5f'(x)=0\Rightarrow 2x(x^2-25)=0\Rightarrow x=0,\pm5. Deoarece x=0∉x=0\notin domeniu, rămân x=±5x=\pm5; punctele x=±22x=\pm2\sqrt{2} fac denom. zero și sunt excluse din domeniu.
43 puncte
Clasificați prin semnul lui f′f' pe componentele domeniului: pentru ∣x∣>22|x|>2\sqrt{2} denom. este pozitiv, deci semnul lui f′f' este dat de x(x2−25)x(x^2-25). Pentru x<−5x<-5 avem f′<0f'<0 (descrește), pentru −5<x<−22-5<x<-2\sqrt{2} avem f′>0f'>0 (crește) ⇒ la x=−5x=-5 este minim local. Similar, pentru 22<x<52\sqrt{2}<x<5 avem f′<0f'<0 și pentru x>5x>5 avem f′>0f'>0 ⇒ la x=5x=5 este minim local. Concluzie: x=±5x=\pm5 sunt minime locale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.