MediuCombinatorică
Câte numere de șase cifre există a căror scriere zecimală conține exact patru cifre distincte?
Rezolvare completă
10 puncte · 4 pași13 puncte
Cifra din față este nenulă. Trebuie să alegem exact 4 cifre distincte și să le folosim în total de 6 ori, fiecare apărând cel puțin o dată. Partițiile lui 6 în 4 părți strict pozitive sunt: 3+1+1+1 și 2+2+1+1.\n
24 puncte
Cazul A: nu folosim cifra 0. Alegem 4 cifre din {1,\ldots,9}: . Pentru o mulțime fixă de 4 cifre, cu condiția ca toate să apară, numărul de permutări este: pentru tipul (3,1,1,1): (4\cdot \frac{6!}{3!}); pentru tipul (2,2,1,1): (C_{2}^{4}\cdot \frac{6!}{2!2!}). Suma este pentru fiecare mulțime de 4 cifre. Contribuția totală: .\n
33 puncte
Cazul B: folosim cifra 0 împreună cu 3 cifre nenule. Alegem cele 3 cifre nenule în moduri. Pentru o mulțime {0,a,b,c}, numărul de cuvinte de lungime 6 care folosesc toate cele 4 cifre este din nou 1560, dar trebuie să excludem cele care încep cu 0. Cuvintele care încep cu 0 și folosesc toate cele 4 cifre corespund unor cuvinte de lungime 5 peste {0,a,b,c} în care cifrele a, b și c apar fiecare cel puțin o dată. Prin incluziune-excludere: . Deci pentru fiecare mulțime cu 0 avem numere valide. Contribuție: .\n
40 puncte
Numărul total de numere este .
Ai rezolvat această problemă?
Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.
Vreau evaluare AI — e gratuit50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.