MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
La curba y=(5−x2/3)3/2y = (5 - x^{2/3})^{3/2} se duce o tangentă în punctul M(1, 8). Găsiți lungimea segmentului acestei tangente cuprins între axele de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculați derivata: y′=(3/2)(5−x2/3)1/2⋅(−23x−1/3)=−(5−x2/3)1/2x−1/3y'=(3/2)(5-x^{2/3})^{1/2}\cdot(-\tfrac{2}{3}x^{-1/3})=-(5-x^{2/3})^{1/2}x^{-1/3}.
22 puncte
Evaluați panta în x=1x=1: y′(1)=−5−1/1=−2y'(1)=-\sqrt{5-1}/1=-2.
32 puncte
Ecuația dreptei tangente în M(1,8)M(1,8) este y−8=−2(x−1)y-8=-2(x-1), deci y=−2x+10y=-2x+10. Interceptele cu axele: xx-intercept (5,0)(5,0), yy-intercept (0,10)(0,10).
42 puncte
Lungimea segmentului dintre (5,0)(5,0) și (0,10)(0,10) este 52+102=125=55\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.