MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelor
Reprezentați numărul 1,251{,}25 ca produs al trei factori pozitivi astfel încât produsul primului factor cu pătratul celui de-al doilea să fie egal cu 55 și astfel încât suma celor trei factori să fie minimă; determinați factorii.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Introduceți variabilele x,y,z>0x,y,z>0 și scrieți condițiile xyz=1,25xyz=1{,}25 și xy2=5xy^{2}=5.
23 puncte
Exprimați xx și zz în funcție de yy: x=5y2x=\frac{5}{y^{2}}, din xyz=1,25xyz=1{,}25 rezultă z=1,25 y5=14yz=\frac{1{,}25\,y}{5}=\frac{1}{4}y; obțineți funcția de o singură variabilă de minimat S(y)=5y2+54yS(y)=\frac{5}{y^{2}}+\frac{5}{4}y.
33 puncte
Derivați și determinați punctele critice: S′(y)=−10y−3+54=0⇒y3=8⇒y=2S'(y)=-10y^{-3}+\frac{5}{4}=0\Rightarrow y^{3}=8\Rightarrow y=2.
41 punct
Verificați natura extremului: S′′(y)=30y−4>0S''(y)=30y^{-4}>0 pentru y>0y>0, deci este minim.
51 punct
Calculați factorii: y=2y=2, x=54=1,25x=\frac{5}{4}=1{,}25, z=12=0,5z=\frac{1}{2}=0{,}5 și verificați condițiile (produsul și relația xy2=5xy^{2}=5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.