MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Așezați coordonate: N la (0,0)(0,0), mal opus la y=1y=1, M la (s,1)(s,1). Pescarul are poziția xp(t)=s−4tx_p(t)=s-4t; dacă întâlnirea are loc la momentul t1t_1, atunci punctul de întâlnire e (x,ty)=(s−4t1,1)(x,t_y)=(s-4t_1,1). Pentru traiectoria bărcii, notați timpii t1t_1 (dus) și t2t_2 (întors) cu suma t1+t2=9/8t_1+t_2=9/8.
24 puncte
Din componentele vitezei bărcii față de mal obțineți condițiile (pentru dus) (xt1−1)2+(1t1)2=16\left(\dfrac{x}{t_1}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{t_1}\right)^2=16 şi relația x=s−4t1x=s-4t_1. Pentru întors aveți (−xt2−1)2+(−1t2)2=16\left(-\dfrac{x}{t_2}-1\right)^2+\left(-\dfrac{1}{t_2}\right)^2=16. Eliminând xx și t2=T−t1t_2=T-t_1 (cu T=9/8T=9/8) se ajunge la o ecuație algebrică pentru t1t_1 și apoi la o expresie pentru ss.
33 puncte
Rezolvând sistemul se obţin două soluţii pentru t1t_1, din care singura fizică (cu s≥3s\ge3) dă s≈3,622s\approx 3{,}622 km. Prezentați această valoare numerică și verificați că satisface condițiile problemei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Ușor#1VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#2VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#3VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Mediu#4VectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
În spațiu, se consideră vectorii p⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{p} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, q⃗=−i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{q} = -\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și r⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{r} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Determinați aa, bb, cc astfel încât r⃗\vec{r} să fie coplanar cu p⃗\vec{p} și q⃗\vec{q}, iar modulul său să fie 55.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.