MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
În spațiu, se consideră vectorii p⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{p} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, q⃗=−i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{q} = -\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și r⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{r} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Determinați aa, bb, cc astfel încât r⃗\vec{r} să fie coplanar cu p⃗\vec{p} și q⃗\vec{q}, iar modulul său să fie 55.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția de coplanaritate: det⁡(2−1a−14b3−2c)=0\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & a \\ -1 & 4 & b \\ 3 & -2 & c \end{pmatrix} = 0. Calcul: det⁡=2(4c+2b)−(−1)((−1)c−(−2)a)+a((−1)(−2)−4⋅3)=8c+4b+(−c+2a)+a(2−12)=7c+4b−8a=0⇒8a−4b−7c=0\det = 2(4c + 2b) - (-1)((-1)c - (-2)a) + a((-1)(-2) - 4 \cdot 3) = 8c + 4b + (-c + 2a) + a(2 - 12) = 7c + 4b - 8a = 0 \Rightarrow 8a - 4b - 7c = 0.
23 puncte
Condiția pentru modul: ∣r⃗∣=5⇒a2+b2+c2=5⇒a2+b2+c2=25|\vec{r}| = 5 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 5 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 25.
33 puncte
Rezolvăm sistemul {8a−4b−7c=0a2+b2+c2=25\begin{cases} 8a - 4b - 7c = 0 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 25 \end{cases}. Din prima ecuație, b=2a−74cb = 2a - \frac{7}{4}c. Alegem c=0c=0 pentru simplitate, atunci b=2ab=2a și a2+(2a)2=5a2=25⇒a2=5⇒a=±5a^2 + (2a)^2 = 5a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = 5 \Rightarrow a = \pm \sqrt{5}, b=±25b = \pm 2\sqrt{5}, c=0c=0. O soluție este a=5a=\sqrt{5}, b=25b=2\sqrt{5}, c=0c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.