Probleme de Vectori — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăGeometrie • 444 probleme cu rezolvări complete
Teorie Vectori — Formule si exemple rezolvate

Vectorii sunt mărimi caracterizate prin direcție, sens și modul. Capitolul acoperă operații cu vectori, produsul scalar și aplicații în geometrie, studiat în clasa a 9-a.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

165

probleme

Mediu

147

probleme

Grile de Vectori

132 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Așezați coordonate: N la (0,0)(0,0), mal opus la y=1y=1, M la (s,1)(s,1). Pescarul are poziția xp(t)=s−4tx_p(t)=s-4t; dacă întâlnirea are loc la momentul t1t_1, atunci punctul de întâlnire e (x,ty)=(s−4t1,1)(x,t_y)=(s-4t_1,1). Pentru traiectoria bărcii, notați timpii t1t_1 (dus) și t2t_2 (întors) cu suma t1+t2=9/8t_1+t_2=9/8.
24 puncte
Din componentele vitezei bărcii față de mal obțineți condițiile (pentru dus) (xt1−1)2+(1t1)2=16\left(\dfrac{x}{t_1}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{t_1}\right)^2=16 şi relația x=s−4t1x=s-4t_1. Pentru întors aveți (−xt2−1)2+(−1t2)2=16\left(-\dfrac{x}{t_2}-1\right)^2+\left(-\dfrac{1}{t_2}\right)^2=16. Eliminând xx și t2=T−t1t_2=T-t_1 (cu T=9/8T=9/8) se ajunge la o ecuație algebrică pentru t1t_1 și apoi la o expresie pentru ss.
33 puncte
Rezolvând sistemul se obţin două soluţii pentru t1t_1, din care singura fizică (cu s≥3s\ge3) dă s≈3,622s\approx 3{,}622 km. Prezentați această valoare numerică și verificați că satisface condițiile problemei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm AB⃗=(4−1)i⃗+(5−1)j⃗=3i⃗+4j⃗\vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (5-1)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și AC⃗=(7−1)i⃗+(1−1)j⃗=6i⃗+0j⃗\vec{AC} = (7-1)\vec{i} + (1-1)\vec{j} = 6\vec{i} + 0\vec{j}.
23 puncte
Calculăm ∣AB⃗∣=32+42=5|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 și ∣BC⃗∣=(7−4)2+(1−5)2=32+(−4)2=5|\vec{BC}| = \sqrt{(7-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5, deci ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|.
34 puncte
Aria triunghiului este 12∣AB⃗×AC⃗∣=12∣3⋅0−4⋅6∣=12⋅24=12\frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = \frac{1}{2} | 3 \cdot 0 - 4 \cdot 6 | = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
u⃗+v⃗=(2−1)i⃗+(−3+4)j⃗=i⃗+j⃗\vec{u} + \vec{v} = (2-1)\vec{i} + (-3+4)\vec{j} = \vec{i} + \vec{j}, u⃗⋅v⃗=2⋅(−1)+(−3)⋅4=−14\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4 = -14.
24 puncte
zu=2−3iz_u = 2 - 3i, zv=−1+4iz_v = -1 + 4i, suma zu+zv=1+iz_u + z_v = 1 + i, care reprezintă vectorul (1,1)(1,1).
33 puncte
Argumentul lui zuz_u este arg⁡(zu)=arctan⁡(−32)\arg(z_u) = \arctan\left(\frac{-3}{2}\right), iar din cadranul IV, argumentul principal este −arctan⁡(32)-\arctan\left(\frac{3}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm a⃗+b⃗=(2−1)i⃗+(3+4)j⃗=i⃗+7j⃗\vec{a} + \vec{b} = (2-1)\vec{i} + (3+4)\vec{j} = \vec{i} + 7\vec{j}.
24 puncte
Condiția de perpendicularitate: (a⃗+b⃗)⋅c⃗=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0. Avem (1,7)⋅(k,1)=0⇒1⋅k+7⋅1=0⇒k+7=0⇒k=−7(1,7) \cdot (k,1) = 0 \Rightarrow 1 \cdot k + 7 \cdot 1 = 0 \Rightarrow k + 7 = 0 \Rightarrow k = -7.
33 puncte
Aria triunghiului cu vârfurile la origine, a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} este 12∣det⁡(a⃗,b⃗)∣\frac{1}{2} |\det(\vec{a}, \vec{b})|. Coordonatele: a⃗=(2,3)\vec{a} = (2,3), b⃗=(−1,4)\vec{b} = (-1,4), deci det⁡=2⋅4−3⋅(−1)=8+3=11\det = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11. Aria = 12⋅11=5.5\frac{1}{2} \cdot 11 = 5.5 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5VectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
În spațiu, se consideră vectorii p⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{p} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, q⃗=−i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{q} = -\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și r⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{r} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Determinați aa, bb, cc astfel încât r⃗\vec{r} să fie coplanar cu p⃗\vec{p} și q⃗\vec{q}, iar modulul său să fie 55.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția de coplanaritate: det⁡(2−1a−14b3−2c)=0\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & a \\ -1 & 4 & b \\ 3 & -2 & c \end{pmatrix} = 0. Calcul: det⁡=2(4c+2b)−(−1)((−1)c−(−2)a)+a((−1)(−2)−4⋅3)=8c+4b+(−c+2a)+a(2−12)=7c+4b−8a=0⇒8a−4b−7c=0\det = 2(4c + 2b) - (-1)((-1)c - (-2)a) + a((-1)(-2) - 4 \cdot 3) = 8c + 4b + (-c + 2a) + a(2 - 12) = 7c + 4b - 8a = 0 \Rightarrow 8a - 4b - 7c = 0.
23 puncte
Condiția pentru modul: ∣r⃗∣=5⇒a2+b2+c2=5⇒a2+b2+c2=25|\vec{r}| = 5 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 5 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 25.
33 puncte
Rezolvăm sistemul {8a−4b−7c=0a2+b2+c2=25\begin{cases} 8a - 4b - 7c = 0 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 25 \end{cases}. Din prima ecuație, b=2a−74cb = 2a - \frac{7}{4}c. Alegem c=0c=0 pentru simplitate, atunci b=2ab=2a și a2+(2a)2=5a2=25⇒a2=5⇒a=±5a^2 + (2a)^2 = 5a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = 5 \Rightarrow a = \pm \sqrt{5}, b=±25b = \pm 2\sqrt{5}, c=0c=0. O soluție este a=5a=\sqrt{5}, b=25b=2\sqrt{5}, c=0c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6VectoriGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=3i⃗−j⃗\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} în reperul cartezian xOyxOy. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} și unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. b) Determinați vectorul w⃗\vec{w} astfel încât 2w⃗−u⃗=v⃗2\vec{w} - \vec{u} = \vec{v}. c) Verificați dacă vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și w⃗\vec{w} sunt liniar dependenți.
Mediu#7VectoriSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul OxyzOxyz, se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=3i⃗−j⃗+4k⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}, și c⃗=−2i⃗+5j⃗+mk⃗\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + m\vec{k}, unde mm este un parametru real. a) Pentru m=1m = 1, calculați produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]. b) Determinați mm astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} să fie coplanari. c) Pentru mm găsit, rezolvați sistemul de ecuații liniare care exprimă combinația liniară αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0}.
Ușor#8VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(1,0,0), B(0,1,0) și C(0,0,1) în spațiu. a) Arătați că triunghiul ABC este isoscel. b) Determinați ecuația planului care conține triunghiul ABC. c) Calculați distanța de la punctul D(0,0,0) la acest plan.
Mediu#9VectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeDeterminanți
Se dau vectorii u⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, v⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}, și w⃗=i⃗+j⃗−2k⃗\vec{w} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}. a) Verificați dacă acești vectori sunt coplanari. b) Dacă nu sunt coplanari, calculați volumul paralelipipedului determinat de ei. c) Aflați un vector unitar perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.
Mediu#10VectoriNumere Complexe
Fie vectorii v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 în plan, cu coordonatele (a,b)(a,b) și (c,d)(c,d) în baza ortonormată (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}). Acestor vectori le corespund numerele complexe z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di. a) Demonstrați că v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 sunt coliniari dacă și numai dacă z1z2\frac{z_1}{z_2} este un număr real. b) Pentru z1=2−4iz_1 = 2-4i și z2=−1+2iz_2 = -1+2i, verificați coliniaritatea vectorilor și determinați un vector de modul 10 coliniar cu v⃗1\vec{v}_1.

Și alte 302 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Accesează toate cele 444 probleme de Vectori cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.