MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelor
Găsiți extremele funcției f(x)=2xsin⁡2x+cos⁡2x−3f(x) = 2x \sin 2x + \cos 2x - \sqrt{3} pe intervalul [−π/2,3π/8][-\pi/2, 3\pi/8].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata funcției. Observați că f′(x)=2sin⁡2x+4xcos⁡2x−2sin⁡2x=4xcos⁡2xf'(x)=2\sin 2x+4x\cos 2x-2\sin 2x=4x\cos 2x. Determinați punctele critice prin rezolvarea f′(x)=0f'(x)=0, adică x=0x=0 sau cos⁡2x=0⇒x=π/4+kπ/2\cos 2x=0\Rightarrow x=\pi/4+k\pi/2. În intervalul [−π/2,3π/8][-\pi/2,3\pi/8] revin x=−π/4,  0,  π/4x=-\pi/4,\;0,\;\pi/4 (4 puncte).
24 puncte
Evaluați funcția în punctele critice și la capete: f(0)=1−3f(0)=1-\sqrt{3}, f(±π/4)=π/2−3f(\pm\pi/4)=\pi/2-\sqrt{3}, f(−π/2)=−1−3f(-\pi/2)=-1-\sqrt{3}, f(3π/8)=3π28−22−3f(3\pi/8)=\dfrac{3\pi\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}. Comparați valorile pentru a găsi extremele (4 puncte).
32 puncte
Concluzie: valoarea maximă pe interval este f(π/4)=f(−π/4)=π2−3f(\pi/4)=f(-\pi/4)=\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{3}, iar valoarea minimă este f(−π/2)=−1−3f(-\pi/2)=-1-\sqrt{3} (2 puncte).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.