MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatorică
Există două variante ale unui test, propuse la 12 elevi. Elevii sunt așezați în două rânduri paralele, câte 6 elevi în fiecare rând. În câte moduri se pot repartiza variantele astfel încât: (1) nici două variante identice să nu fie alăturate în același rând; (2) elevii care stau unul în spatele celuilalt (pe aceeași coloană) să primească aceeași variantă?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că, fiind două rânduri de câte 6 locuri, putem privi așezarea ca un tablou 2×62\times 6. Condiția (2) impune ca pe fiecare coloană cei doi elevi să aibă aceeași variantă, deci fiecare coloană este fie de tip (A,A)(A,A), fie de tip (B,B)(B,B).\n
23 puncte
Condiția (1) cere ca pe fiecare rând variantele să alterneze. Ca urmare, tipurile de coloane trebuie să alterneze: A,B,A,B,A,BA,B,A,B,A,B sau B,A,B,A,B,AB,A,B,A,B,A. Avem deci 2 moduri de a alege tipurile de coloane.\n
34 puncte
În fiecare coloană de tip AA trebuie să fie câte doi elevi cu varianta A, iar în coloanele de tip BB câte doi elevi cu varianta B. Rezultă 6 elevi cu varianta A și 6 cu varianta B. Alegem cei 6 elevi care primesc varianta A în C612C_{6}^{12} moduri; apoi îi permutăm în locurile cu A în 6!6! moduri, iar elevii cu B în locurile cu B tot în 6!6! moduri. Numărul total este 2⋅C612⋅6!⋅6!2 \cdot C_{6}^{12} \cdot 6! \cdot 6!.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.