MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Arătați că curba y=x4+3x2+2xy = x^4 + 3x^2 + 2x nu intersectează dreapta y=2x−1y = 2x - 1 și determinați distanța dintre cele mai apropiate puncte ale lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculăm diferenţa f(x)=x4+3x2+2x−(2x−1)=x4+3x2+1f(x)=x^4+3x^2+2x-(2x-1)=x^4+3x^2+1. Notăm t=x2≥0t=x^2\ge0 și considerăm g(t)=t2+3t+1g(t)=t^2+3t+1. Pentru t≥0t\ge0 avem g(t)≥g(0)=1>0g(t)\ge g(0)=1>0, deci f(x)>0f(x)>0 pentru orice xx, rezultând că curba nu intersectează dreapta.
26 puncte
Distanţa de la un punct (x,y(x))(x,y(x)) al curbei la dreapta 2x−y−1=02x-y-1=0 este d(x)=∣2x−y(x)−1∣5=x4+3x2+15d(x)=\frac{|2x-y(x)-1|}{\sqrt{5}}=\frac{x^4+3x^2+1}{\sqrt{5}}. Notând t=x2≥0t=x^2\ge0 minimizăm h(t)=t2+3t+1h(t)=t^2+3t+1, care are minimul pe domeniul t≥0t\ge0 în t=0t=0 și valoarea minimă 11. Prin urmare distanța minimă este 15\frac{1}{\sqrt{5}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.