GreuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

GreuCombinatoricăProbabilități
Se consideră dezvoltarea lui (1+x+x2)n(1 + x + x^2)^n. Determinați valoarea minimă a lui nn pentru care cel mai mare coeficient al unei puteri a lui xx depășește 10510^5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Suma tuturor coeficienților este 3n3^n. După principiul central-limită, coeficientul maxim este aproximativ 3nn\dfrac{3^n}{\sqrt{n}}.\n
24 puncte
Impunem 3nn>105\dfrac{3^n}{\sqrt{n}} > 10^5. Testând creșterea lui 3n3^n: pentru n=10n = 10, 310=59049<1053^{10} = 59049 < 10^5; pentru n=11n = 11, 177147177147; pentru n=12n = 12, 531441531441.\n
33 puncte
Pentru n=12n = 12, 53144112>1.5⋅105>105\dfrac{531441}{\sqrt{12}} > 1.5 \cdot 10^5 > 10^5. Concluzie: nmin⁡=12n_{\min} = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.