MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorArii și volume
Un cilindru este înscris într-un con de înălțime H și raza bazei R astfel încât o bază a cilindrului se află în planul bazei conului iar circumferința celeilalte baze aparține suprafeței laterale a conului. Determinați înălțimea cilindrului pentru care volumul său este maxim și găsiți valoarea maximă a volumului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie cilindrul de înălțime hh și rază rr. Din asemănarea secțiunilor conice rezultă relația r=R(1−hH)r=R\left(1-\dfrac{h}{H}\right).
24 puncte
Volumul cilindrului este V(h)=πr2h=πR2(1−hH)2hV(h)=\pi r^2 h=\pi R^2\left(1-\dfrac{h}{H}\right)^2 h. Derivăm și rezolvăm V′(h)=0V'(h)=0: obținem h=H3h=\dfrac{H}{3} ca unic punct interior optim.
33 puncte
Calculăm volumul maxim: Vmax⁡=πR2(1−13)2H3=427πR2HV_{\max}=\pi R^2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2\dfrac{H}{3}=\dfrac{4}{27}\pi R^2 H. Verificăm că este maxim (de exemplu semnul lui V′′(h)V''(h) la h=H/3h=H/3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.