MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea Cm13<Cm+213C_{m}^{13} < C_{m+2}^{13}, unde m∈N.m \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabiliți domeniul: pentru ca Cm13C_{m}^{13} și Cm+213C_{m+2}^{13} să fie nenule trebuie 0≤m≤130 \le m \le 13 și m+2≤13m+2 \le 13, deci 0≤m≤110 \le m \le 11.\n
24 puncte
Considerați raportul Cm+213Cm13=Cm+213Cm+113⋅Cm+113Cm13=13−mm+1⋅12−mm+2\dfrac{C_{m+2}^{13}}{C_{m}^{13}} = \dfrac{C_{m+2}^{13}}{C_{m+1}^{13}} \cdot \dfrac{C_{m+1}^{13}}{C_{m}^{13}} = \dfrac{13-m}{m+1} \cdot \dfrac{12-m}{m+2}. Inegalitatea Cm13<Cm+213C_{m}^{13} < C_{m+2}^{13} este echivalentă cu Cm+213Cm13>1\dfrac{C_{m+2}^{13}}{C_{m}^{13}} > 1, adică (13−m)(12−m)>(m+1)(m+2)(13-m)(12-m) > (m+1)(m+2).\n
33 puncte
Rezolvați inegalitatea: (13−m)(12−m)−(m+1)(m+2)>0  ⟺  −14(2m−11)>0  ⟺  m<112(13-m)(12-m) - (m+1)(m+2) > 0 \iff -14(2m-11) > 0 \iff m < \dfrac{11}{2}. Intersectând cu domeniul m∈{0,1,…,11}m \in \{0,1,\dots,11\} obțineți m∈{0,1,2,3,4,5}.m \in \{0,1,2,3,4,5\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.