MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateMonotonie și convexitate
Găsiți punctele critice ale funcției f(x) = x2−3x+2x2+3x+2\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} și testați-le pentru maxime și minime.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție: x2+3x+2≠0⇒x≠−1,−2x^2+3x+2\neq0\Rightarrow x\neq-1,-2.
23 puncte
Calculați derivata folosind regula câtului: f′(x)=(2x−3)(x2+3x+2)−(2x+3)(x2−3x+2)(x2+3x+2)2=6(x2−2)(x2+3x+2)2f'(x)=\frac{(2x-3)(x^2+3x+2)-(2x+3)(x^2-3x+2)}{(x^2+3x+2)^2}=\frac{6(x^2-2)}{(x^2+3x+2)^2}.
32 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 sau unde nu este definită derivata: f′(x)=0⇒x2−2=0⇒x=±2f'(x)=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}; punctele unde denom. =0 (x=−1,−2x=-1,-2) nu sunt în domeniu.
43 puncte
Clasificați prin semnul lui f′f': deoarece denom. este pătrat pozitiv pe domeniu, semnul lui f′f' este dat de x2−2x^2-2. Astfel f′>0f'>0 pentru ∣x∣>2|x|>\sqrt{2} și f′<0f'<0 pentru ∣x∣<2|x|<\sqrt{2}. Concluzie: la x=−2x=-\sqrt{2} funcția trece de la creștere la descreștere (maxim local), iar la x=2x=\sqrt{2} trece de la descreștere la creștere (minim local).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.