MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăProgresii Geometrice
Câte numere naturale mai mici decât 2⋅1082 \cdot 10^8 și divizibile cu 3 se pot scrie folosind numai cifrele 0, 1 și 2 (numerele nu pot începe cu 0)?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Numerele au cel mult 8 cifre, deoarece 2⋅1082\cdot 10^8 este o limită superioară. Prima cifră poate fi 1 sau 2 (nu 0). Restul cifrelor pot fi 0,1,2.
24 puncte
Pentru un număr cu exact kk cifre (1 ≤ k ≤ 8): prima cifră are 2 opțiuni, iar celelalte k−1k-1 au 3 opțiuni. Totalul este 2⋅3k−12 \cdot 3^{k-1}. Dintre acestea vrem doar cele cu sumă a cifrelor divizibilă cu 3.
33 puncte
Observați că pentru cifrele {0,1,2}, numărul de cuvinte de lungime kk cu sumă divizibilă cu 3 este 3k−13^{k-1}. Împărțim în funcție de prima cifră: dacă începe cu 0 nu e voie. Dacă începe cu 1 sau 2, restul cifrelor trebuie să aibă sumă congruentă cu 2 sau 1 modulo 3. Există 3k−23^{k-2} astfel de completări pentru fiecare caz. Deci pentru lungimea kk contribuția este 2⋅3k−22 \cdot 3^{k-2}. Suma finală (k = 1...8) este: 2+2+2⋅3+2⋅32+2⋅33+2⋅34+2⋅35+2⋅36=2+2+6+18+54+162+486+1458=21882 + 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + 2\cdot 3^3 + 2\cdot 3^4 + 2\cdot 3^5 + 2\cdot 3^6 = 2 + 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1458 = 2188.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.