MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateStudiul funcțiilor
Pentru ce valori reale ale lui a și b sunt toate extremele funcției f(x)=a2x3+ax2−x+bf(x) = a^2 x^3 + a x^2 - x + b negative și maximul se află în punctul x0=−1x_0 = -1?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata f′(x)=3a2x2+2ax−1f'(x)=3a^2x^2 + 2a x -1. Condiția f′(−1)=0f'(-1)=0 dă 3a2−2a−1=03a^2 -2a -1=0, rezolvare: a=1a=1 sau a=−1/3a=-1/3.
23 puncte
Verificăm natura extremului: f′′(x)=6a2x+2af''(x)=6a^2 x + 2a, astfel f′′(−1)=−6a2+2af''(-1)=-6a^2 + 2a. Pentru a=1a=1 avem f′′(−1)=−4<0f''(-1)=-4<0, iar pentru a=−1/3a=-1/3 avem f′′(−1)=−4/3<0f''(-1)=-4/3<0, deci în ambele cazuri punctul este maxim.
34 puncte
Impunem ca toate extremele să fie negative. Pentru a=1a=1 punctele critice sunt x=−1x=-1 și x=1/3x=1/3. Evaluări: f(−1)=1+b<0⇒b<−1f(-1)=1 + b<0\Rightarrow b<-1, iar f(1/3)=−5/27+b<0⇒b<5/27f(1/3)=-5/27 + b<0\Rightarrow b<5/27. Condiția comună este b<−1b<-1. Pentru a=−1/3a=-1/3 punctele critice sunt x=−1x=-1 și x=3x=3. Evaluări: f(−1)=5/9+b<0⇒b<−5/9f(-1)=5/9 + b<0\Rightarrow b<-5/9, iar f(3)=−3+b<0⇒b<3f(3)=-3 + b<0\Rightarrow b<3. Condiția comună este b<−5/9b<-5/9. Concluzie: fie a=1a=1 cu b<−1b<-1, fie a=−1/3a=-1/3 cu b<−5/9b<-5/9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.