MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În dezvoltarea expresiei (3x2+2x)n\left( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right)^n, coeficientul termenului cu exponentul lui xx egal cu 1 este 1237512375. Determinați valoarea lui nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general este Tk+1=Cnk(3x2)n−k(2/x)k=Cnk3n−k2kx2(n−k)−k=Cnk3n−k2kx2n−3kT_{k+1} = C_n^k (3x^2)^{n-k}(2/x)^k = C_n^k 3^{n-k}2^k x^{2(n-k)-k} = C_n^k3^{n-k}2^k x^{2n - 3k}.\n
24 puncte
Impuneți exponentul: 2n−3k=1⇒k=2n−132n - 3k = 1 \Rightarrow k = \dfrac{2n - 1}{3}. Aceasta trebuie să fie întreagă.\n
33 puncte
Coeficientul este Cnk3n−k2k=12375C_n^k 3^{n-k}2^k = 12375. Testarea valorilor posibile pentru nn multiplu de 3 sau 2n-1 multiplu de 3 duce la n=9n = 9, k=5k = 5. Coeficientul: C953425=126⋅81⋅32=326592C_9^5 3^4 2^5 = 126 \cdot 81 \cdot 32 = 326592, prea mare; n=8n = 8, k=5k = 5 dă C853325=56⋅27⋅32=48384C_8^5 3^3 2^5 = 56 \cdot 27 \cdot 32 = 48384. Pentru n=7n=7, k=133k=\frac{13}{3} invalid; singura soluție integer rezultat din constrângere pentru 12375 este n=6n = 6, k=3k = 3, deoarece C63=20C_6^3 = 20, iar 3323=27⋅8=2163^3 2^3 = 27\cdot 8 = 216, produs 4320, nu este 12375; ajustarea arată că nu există nn natural care să satisfacă exact condiția, deci problema nu are soluție în N\mathbb{N}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.