MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O barcă se află în punctul Q al lacului, care se află la 6 km distanță de cel mai apropiat punct A al malului. Vaslasul trebuie să ajungă în punctul B, aflat la 11 km de A de-a lungul malului. Viteza bărcii este 3 km/h, iar viteza de mers pe mal este 5 km/h. Vaslasul a calculat că, dacă mai întâi vâslește către un punct C situat între A și B, iar apoi merge pe jos până la B, timpul total de la Q la B este minim. Determinați distanța dintre A și C, presupunând că barca parcurge traiectorie rectilinie și că malul este o linie dreaptă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți variabila x=ACx=AC (km) și exprimați distanța parcursă cu barca QC=62+x2=36+x2QC=\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{36+x^2}. (2 p)
23 puncte
Scrieți funcția timp total T(x)=36+x23+11−x5T(x)=\dfrac{\sqrt{36+x^2}}{3}+\dfrac{11-x}{5} și domeniul 0≤x≤110\le x\le 11. (3 p)
33 puncte
Calculați derivata T′(x)=13⋅x36+x2−15T'(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{36+x^2}}-\dfrac{1}{5}, rezolvați T′(x)=0T'(x)=0 : x336+x2=15⇒5x=336+x2⇒x2=32416=814\dfrac{x}{3\sqrt{36+x^2}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow 5x=3\sqrt{36+x^2}\Rightarrow x^2=\dfrac{324}{16}=\dfrac{81}{4}. (3 p)
42 puncte
Determinați soluția pozitivă x=92=4,5x=\dfrac{9}{2}=4{,}5 km și verificați că dă un minim (sau comparați cu capetele intervalului). Răspuns: AC=4,5AC=4{,}5 km. (2 p)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.