MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareIdentități algebricePolinoame
Rezolvați sistemul: (x2+y2)xy=78,  x4+y4=97(x^2 + y^2)xy = 78,\; x^4 + y^4 = 97

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează s=x+ys=x+y şi p=xyp=xy. Observăm că x2+y2=s2−2px^2+y^2=s^2-2p, astfel prima ecuaţie devine p(s2−2p)=78⇒ps2−2p2=78p(s^2-2p)=78\Rightarrow ps^2-2p^2=78, adică s2=78+2p2ps^2=\dfrac{78+2p^2}{p}.;
24 puncte
Folosind x4+y4=(s2−2p)2−2p2x^4+y^4=(s^2-2p)^2-2p^2 obţinem (s2−2p)2−2p2=97(s^2-2p)^2-2p^2=97. Înlocuind s2−2p=78ps^2-2p=\dfrac{78}{p} rezultă 6084p2−2p2=97\dfrac{6084}{p^2}-2p^2=97, deci 2p4+97p2−6084=02p^4+97p^2-6084=0. Fie u=p2u=p^2, se obţine 2u2+97u−6084=02u^2+97u-6084=0 cu soluţia pozitivă u=36u=36, deci p=±6p=\pm 6, dar doar p=6p=6 conduce la s2≥0s^2\ge 0.;
33 puncte
Pentru p=6p=6 avem s2=78/6+2⋅6=25s^2=78/6+2\cdot 6=25, deci s=±5s=\pm 5. Rezolvând ecuaţiile caracteristice rezultă soluţiile (3,2),(2,3),(−2,−3),(−3,−2)(3,2),(2,3),(-2,-3),(-3,-2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.