MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea 5C3n<C4n+25C_{3}^{n} < C_{4}^{n+2}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: pentru C3nC_{3}^{n} trebuie n≥3n \ge 3, iar pentru C4n+2C_{4}^{n+2} trebuie n+2≥4n+2 \ge 4, deci n≥2n \ge 2. Rezultă n≥3n \ge 3.\n
24 puncte
Scrieți combinațiile: C3n=n(n−1)(n−2)6C_{3}^{n} = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}, C4n+2=(n+2)(n+1)n(n−1)24C_{4}^{n+2} = \dfrac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}. Inegalitatea devine [5 \cdot \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} < \dfrac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}.] Simplificați prin n(n−1)>0n(n-1) > 0 (pentru n≥3n \ge 3) și obțineți o inegalitate polinomială de forma n(n−14)(n−3)(n−1)>0n(n-14)(n-3)(n-1) > 0.\n
33 puncte
Studiați semnul produsului pentru n≥3n \ge 3. Pentru 3<n<143 < n < 14 factorul (n−14)(n-14) este negativ, ceilalți pozitivi, deci produsul este negativ. Pentru n>14n > 14 toți factorii sunt pozitivi, deci produsul este pozitiv. Rezultă soluțiile n>14n > 14, adică n∈{15,16,17,… }.n \in \{15,16,17,\dots\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.