MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Simplificați expresia C0n+2C1n+3C2n+⋯+(n+1)CnnC_{0}^{n} + 2C_{1}^{n} + 3C_{2}^{n} + \dots + (n+1)C_{n}^{n}, unde n∈Nn \in \mathbb{N}, eliminând termenii CknC_{k}^{n} pentru k=0,1,…,n.k = 0, 1, \ldots, n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notați S=C0n+2C1n+3C2n+⋯+(n+1)Cnn=∑k=0n(k+1)CnkS = C_{0}^{n} + 2C_{1}^{n} + 3C_{2}^{n} + \dots + (n+1)C_{n}^{n} = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{n}^{k}. Scrieți S=∑k=0nkCnk+∑k=0nCnkS = \sum_{k=0}^{n} k C_{n}^{k} + \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}.\n
23 puncte
Folosiți formula binomială (1+x)n=∑k=0nCnkxk(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}. Derivați: n(1+x)n−1=∑k=1nkCnkxk−1n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_{n}^{k} x^{k-1}. Pentru x=1x = 1 obțineți n2n−1=∑k=1nkCnkn2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_{n}^{k}. De asemenea, pentru x=1x = 1 în formula binomială, ∑k=0nCnk=2n\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}.\n
33 puncte
Înlocuiți în expresia lui SS: S=n2n−1+2n=2n−1(n+2)S = n2^{n-1} + 2^{n} = 2^{n-1}(n+2). Rezultatul final este S=2n−1(n+2)S = 2^{n-1}(n+2), fără termeni de forma CknC_{k}^{n}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.