MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiContinuitate
Rezolvați sistemul: {log⁡5x+3log⁡3y=7,xy=6253\begin{cases} \log_{5}x + 3\log_{3}y = 7,\\ x^{y}=625^{3} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm 625=54625=5^{4}, deci 6253=512625^{3}=5^{12}. Punem a=log⁡5xa=\log_{5}x, atunci x=5ax=5^{a} și din a doua ecuație rezultă a y=12⇒y=12aa\,y=12\Rightarrow y=\dfrac{12}{a}.\
24 puncte
Înlocuind în prima ecuație obținem ecuația în aa: a+3log⁡3(12a)=7a + 3\log_{3}(\tfrac{12}{a})=7. Verificăm soluții evidente: a=4a=4 dă y=3y=3 și atunci x=54=625x=5^{4}=625, care satisface ambele ecuații.\
33 puncte
Se argumentează că ecuația în aa este continuă și are, pe intervalul a>0a>0, două soluții reale pozitive; cea a doua soluție se obține numeric a≈1.757a\approx 1.757, de unde y≈121.757≈6.828y\approx\dfrac{12}{1.757}\approx 6.828 și x=5a≈16.92x=5^{a}\approx 16.92. Concluzii: soluțiile reale pozitive sunt aproximativ (x,y)=(625,3)(x,y)=(625,3) și (x,y)≈(16.92,6.828)(x,y)\approx(16.92,6.828).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.