MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Rezolvați: Prin ce unghi α trebuie trasată o dreaptă ce trece prin punctul (x0, y0) astfel încât lungimea segmentului interceptat între axele de coordonate să fie minimă?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți ecuațiile interceptelor folosind unghiul α. Pentru dreapta ce trece prin (x0,y0)(x_0,y_0) cu t=tan⁡αt=\tan\alpha se obțin abscisa interceptului cu Ox: xA=x0−y0tx_A=x_0-\dfrac{y_0}{t} și ordonata interceptului cu Oy: yB=y0−x0ty_B=y_0-x_0t.
23 puncte
Exprimați lungimea segmentului în funcție de tt. Lungimea segmentului este L(α)=xA2+yB2L(\alpha)=\sqrt{x_A^2+y_B^2}, deci L2(t)=(x0−y0t)2+(y0−x0t)2=x02+y02+x02t2+y02t2−2x0y0(t+1t)L^2(t)=(x_0-\dfrac{y_0}{t})^2+(y_0-x_0t)^2=x_0^2+y_0^2+x_0^2t^2+\dfrac{y_0^2}{t^2}-2x_0y_0\left(t+\dfrac{1}{t}\right).
33 puncte
Derivați și găsiți condiția pentru extrem. Calculați ddtL2(t)\dfrac{d}{dt}L^2(t) și impuneți egalitatea cu zero. Se obține ecuația pentru t=tan⁡αt=\tan\alpha: x02t4−x0y0t3+x0y0t−y02=0.x_0^2t^4-x_0y_0t^3+x_0y_0t-y_0^2=0. Rezolvați această ecuație (virtual) pentru tt și deduceți valorile corespunzătoare ale lui α=arctan⁡t\alpha=\arctan t.
41 punct
Verificați natura extremului (de exemplu prin analiza semnului derivatelor sau al celei de-a doua derivate) pentru a concluziona că soluția obținută corespunde unui minim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.