MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorPolinoame
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=2⋅23x−9⋅22x+12⋅2xf(x) = 2·2^{3x} - 9·2^{2x} + 12·2^x pe intervalul [−1,1][-1, 1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se face substituția t=2xt=2^x (observăm t>0t>0) și se rescrie funcția ca f(t)=2t3−9t2+12tf(t)=2t^3-9t^2+12t.
24 puncte
Calculăm derivata în raport cu tt: f′(t)=6t2−18t+12=6(t−1)(t−2)f'(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2). Valorile critice pentru t>0t>0 sunt t=1t=1 și t=2t=2, corespunzător lui x=0x=0 și x=1x=1.
33 puncte
Evaluăm funcția în punctele critice și la capete: f(−1)=2⋅2−3−9⋅2−2+12⋅2−1=4f(-1)=2·2^{-3}-9·2^{-2}+12·2^{-1}=4, f(0)=2−9+12=5f(0)=2-9+12=5, f(1)=2⋅23−9⋅22+12⋅2=4f(1)=2·2^{3}-9·2^{2}+12·2=4. Concluzie: valoarea maximă este 55 la x=0x=0, valoarea minimă este 44 la x=−1x=-1 și x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.