MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMonotonie și convexitate
Reprezentați numărul 4848 ca sumă a două termene pozitive astfel încât suma cubului unuia dintre ele și a pătratului celuilalt să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează primul termen cu x∈(0,48)x\in(0,48) și al doilea cu 48−x48-x, se scrie funcția de optimizat f(x)=x3+(48−x)2f(x)=x^3+(48-x)^2.
24 puncte
Se calculează derivata f′(x)=3x2−2(48−x)=3x2+2x−96f'(x)=3x^2-2(48-x)=3x^2+2x-96 și se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0; obținem 3x2+2x−96=0⇒x=1633x^2+2x-96=0\Rightarrow x=\frac{16}{3}.
32 puncte
Se verifică că f′′(x)=6x+2>0f''(x)=6x+2>0 pentru x>0x>0, deci punctul critic este minim.
42 puncte
Se determină celălalt termen 48−163=128348-\frac{16}{3}=\frac{128}{3} și valoarea minimă fmin⁡=(163)3+(1283)2=5324827f_{\min}=\left(\frac{16}{3}\right)^3+\left(\frac{128}{3}\right)^2=\frac{53248}{27}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.