MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateMonotonie și convexitate
Investigați comportamentul funcției y=x3+4(x+1)3y = \frac{x^3 + 4}{(x + 1)^3} și construiți graficul. Câte soluții are ecuația x3+4(x+1)3=c\frac{x^3 + 4}{(x + 1)^3} = c?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Determinați domeniul de definiție D=R∖{−1}D=\mathbb{R}\setminus\{-1\} și punctele de discontinuitate (asimptota verticală x=−1x=-1).
22 puncte
Calculați limitele la infinit și în jurul asimptotei: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1, lim⁡x→−1−f(x)=−∞\lim_{x\to-1^-} f(x)=-\infty, lim⁡x→−1+f(x)=+∞\lim_{x\to-1^+} f(x)=+\infty (concluzie: asimptotă orizontală y=1y=1 și comportament lângă x=−1x=-1).
33 puncte
Derivați și studiați monotonia: f′(x)=3(x+1)2(x2−4)(x+1)6=3(x2−4)(x+1)4f'(x)=\dfrac{3(x+1)^2(x^2-4)}{(x+1)^6}=\dfrac{3(x^2-4)}{(x+1)^4}, puncte critice la x=±2x=\pm2 (și discontinuitate la x=−1x=-1). Determinați semnul și intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,−2)(-\infty,-2), descrescătoare pe (−2,−1)(-2,-1), descrescătoare pe (−1,2)(-1,2), crescătoare pe (2,∞)(2,\infty); extrem local Max la x=−2x=-2, Min la x=2x=2.
42 puncte
Studiați concavitatea/inflecțiile (a doua derivată) sumar: identificați comportamentul curburii și punctele de inflexiune posibile; folosiți informațiile pentru schița precisă a graficului.
52 puncte
Determinați valorile extremelor f(−2)=4f(-2)=4, f(2)=49f(2)=\tfrac{4}{9}, reuniți intervalele de valori pe fiecare componentă și concluzionați numărul de soluții pentru f(x)=cf(x)=c: pentru c>4c>4 are 1 soluție; c=4c=4 are 2 soluții (de ex. x=−2,0x=-2,0); 1<c<41<c<4 are 3 soluții; c=1c=1 are 2 soluții; 49<c<1\tfrac{4}{9}<c<1 are 3 soluții; c=49c=\tfrac{4}{9} are 2 soluții; c<49c<\tfrac{4}{9} are 1 soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.