MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea Cn−2n+1−Cn−1n+1≤100C_{n-2}^{n+1} - C_{n-1}^{n+1} \leq 100, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți simetria combinațiilor: Cn−2n+1=C3n+1C_{n-2}^{n+1} = C_{3}^{n+1} și Cn−1n+1=C2n+1C_{n-1}^{n+1} = C_{2}^{n+1}, deoarece Ckm=Cm−kmC_{k}^{m} = C_{m-k}^{m}. Domeniu: n≥2n \geq 2.\n
24 puncte
Scrieți explicit: C3n+1=(n+1)n(n−1)6C_{3}^{n+1} = \dfrac{(n+1)n(n-1)}{6} și C2n+1=(n+1)n2C_{2}^{n+1} = \dfrac{(n+1)n}{2}. Rezultă inegalitatea [(n+1)n\left(\dfrac{n-1}{6} - \dfrac{1}{2}\right) \leq 100 \iff \dfrac{(n+1)n(n-4)}{6} \leq 100.]\n
33 puncte
Pentru n≥4n \geq 4 rezolvați (n+1)n(n−4)≤600 (n+1)n(n-4) \leq 600, obținând 4≤n≤94 \leq n \leq 9. Pentru n=2,3n = 2,3 calculați direct: Cn−2n+1−Cn−1n+1=−2≤100C_{n-2}^{n+1} - C_{n-1}^{n+1} = -2 \leq 100. Concluzie: n∈{2,3,4,5,6,7,8,9}.n \in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.