MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatorică
Se consideră toate șirurile de lungime 10 formate din cifrele 0, 1, 2, 3 astfel încât cifra 3 apare cel puțin o dată, cifra 1 apare de cel mult 3 ori, iar șirul nu poate începe cu 0. Determinați numărul total al acestor șiruri.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Numărul total de șiruri fără nicio condiție, dar care nu încep cu 0, este 3⋅493 \cdot 4^9 (prima cifră ∈ {1,2,3}).\n
24 puncte
Impuneți condițiile prin incluziune-excludere: fie AA = șiruri fără cifra 3; fie BB = șiruri cu cel puțin 4 apariții ale cifrei 1. Căutăm totalul T−∣A∣−∣B∣T - |A| - |B|.\n- ∣A∣|A|: prima cifră ∈ {1,2}, restul din {0,1,2}, total 2⋅392 \cdot 3^9.\n- ∣B∣|B|: șiruri care au exact rr de apariții ale cifrei 1, pentru r=4,…,10r = 4,\dots,10. Cele două cazuri: prima cifră = 1 sau prima cifră ≠ 1. Formula combinatorică: C9r−1210−r+2⋅C9r29−rC_9^{r-1}2^{10-r} + 2 \cdot C_9^{r} 2^{9-r}.\n
33 puncte
Numărul final este 3⋅49−2⋅39−∑r=410(C9r−1210−r+2C9r29−r)3\cdot 4^9 - 2\cdot 3^9 - \sum_{r=4}^{10}\left(C_9^{r-1}2^{10-r} + 2C_9^{r}2^{9-r}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.