MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorArii și volume
Rezolvați: O prismă hexagonală regulată este înscrisă într-un con de înălțime H și rază a bazei R, astfel încât una dintre bazele prismei se află în planul bazei conului, iar vârfurile celeilalte baze aparțin suprafeței laterale a conului. Care trebuie să fie înălțimea prismei pentru ca volumul să fie maxim? Determinați volumul maxim al prismei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Modelați geometria şi exprimați aria bazei hexagonului regulat în funcție de raza cercului circumscris rr: Ab=332r2A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2. Observați că raza cercului de intersecție a planului bazei superioare cu conul la înălțimea hh este r=R(1−hH)r=R\left(1-\dfrac{h}{H}\right).
23 puncte
Scrieți volumul prismului în funcție de hh: V(h)=Ab⋅h=332R2 h(1−hH)2V(h)=A_b\cdot h=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2\,h\left(1-\dfrac{h}{H}\right)^2. Simplificați, eventual cu variabila adimensională u=hHu=\dfrac{h}{H}: V(u)=332R2H u(1−u)2V(u)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2H\,u(1-u)^2.
33 puncte
Derivați şi găsiți extremul: ddu[u(1−u)2]=(1−u)(1−3u)\dfrac{d}{du}[u(1-u)^2]=(1-u)(1-3u), soluțiile critice pe [0,1][0,1] sunt u=13u=\dfrac{1}{3} (maximum) şi u=1u=1 (minim zero). Rezulta h=H3h=\dfrac{H}{3}.
41 punct
Calculați volumul maxim: Vmax⁡=332R2H⋅13(1−13)2=239R2HV_{\max}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2H\cdot\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}R^2H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.