MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=sin⁡x+cos⁡2xf(x) = \sin x + \cos 2x pe intervalul [0,π][0, π].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=cos⁡x−2sin⁡2xf'(x)=\cos x -2 \sin 2x. Folosim sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2 \sin x \cos x și obținem f′(x)=cos⁡x(1−4sin⁡x)f'(x)=\cos x(1-4 \sin x). Soluțiile pentru f′(x)=0f'(x)=0 pe [0,π][0,π] sunt cos⁡x=0⇒x=π/2\cos x=0\Rightarrow x=π/2 și sin⁡x=1/4⇒x=arcsin⁡(1/4)\sin x=1/4\Rightarrow x=\arcsin(1/4) și x=π−arcsin⁡(1/4)x=π - \arcsin(1/4).
23 puncte
Evaluăm funcția în punctele critice și la capete: f(0)=sin⁡0+cos⁡0=1f(0)=\sin0+\cos0=1, f(π)=sinπ+cos⁡2π=1f(π)=sinπ+\cos2π=1, f(π/2)=1+cos⁡π=0f(π/2)=1+\cos π=0, iar pentru sin⁡x=1/4\sin x=1/4 avem f=s+(1−2s2)f= s + (1-2s^2) cu s=1/4s=1/4, deci f=1/4+1−2(1/16)=9/8f=1/4+1-2(1/16)=9/8.
33 puncte
Comparăm valorile: maxima este 9/89/8 în punctele cu sin⁡x=1/4\sin x=1/4, iar minima este 00 la x=π/2x=π/2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.