MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În dezvoltarea lui (x+2x2)n\left( x + \dfrac{2}{x^2} \right)^n, doi termeni consecutivi au coeficienții egali. Determinați toate valorile posibile ale lui nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Termenul general este Tk+1=Cnkxn−k(2/x2)k=Cnk2kxn−3kT_{k+1} = C_n^k x^{n-k}(2/x^2)^k = C_n^k 2^k x^{n - 3k}.\n
24 puncte
Cerem Cnk2k=Cnk+12k+1C_n^k 2^k = C_n^{k+1} 2^{k+1}. Simplificați: Cnk=2Cnk+1C_n^k = 2 C_n^{k+1}.\n
33 puncte
Folosiți raportul combinărilor: Cnk+1Cnk=n−kk+1\dfrac{C_n^{k+1}}{C_n^k} = \dfrac{n-k}{k+1}. Ecuația devine [1 = 2 \cdot \dfrac{n-k}{k+1} \Rightarrow k+1 = 2(n-k) \Rightarrow 3k = 2n - 1 \Rightarrow k = \dfrac{2n - 1}{3}.] Pentru ca kk să fie întreg: 2n−1≡0(mod3)2n - 1 \equiv 0 \pmod{3}. Soluțiile sunt n≡2(mod3)n \equiv 2 \pmod{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.