MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Dintr-o foaie de tablă pătrată cu latura de 12 cm, se decupează patru pătrate identice din colțuri, iar restul se îndoaie pentru a forma o cutie fără capac. Determinați latura pătratelor decupate astfel încât volumul cutiei să fie maxim. Studiați apoi monotonia și convexitatea funcției volum în raport cu această latură.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm cu xx latura pătratului decupat, cu x∈(0,6)x \in (0,6). Volumul cutiei este V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12-2x)^2.
23 puncte
Calculul derivatei întâi: V′(x)=(12−2x)2+x⋅2(12−2x)(−2)=(12−2x)(12−2x−4x)=(12−2x)(12−6x)=12(6−x)(2−x)V'(x) = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)(12-2x - 4x) = (12-2x)(12-6x) = 12(6-x)(2-x).
32 puncte
Rezolvarea ecuației V′(x)=0V'(x)=0: x=2x=2 sau x=6x=6, dar x=6x=6 nu este în domeniul (0,6)(0,6). Semnul lui V′(x)V'(x): pentru x∈(0,2)x \in (0,2), V′(x)>0V'(x) > 0; pentru x∈(2,6)x \in (2,6), V′(x)<0V'(x) < 0. Astfel, x=2x=2 este punct de maxim.
42 puncte
Studierea monotoniciei: funcția VV este crescătoare pe (0,2)(0,2) și descrescătoare pe (2,6)(2,6).
51 punct
Calculul derivatei a doua: V′′(x)=24(x−4)V''(x) = 24(x-4). Semnul lui V′′(x)V''(x): pentru x∈(0,4)x \in (0,4), V′′(x)<0V''(x) < 0 (funcția este concavă); pentru x∈(4,6)x \in (4,6), V′′(x)>0V''(x) > 0 (funcția este convexă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.